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东月之神

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树状数组  

2010-03-12 12:14:21|  分类: ACM |  标签: |举报 |字号 订阅

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【引言】

          在解题过程中,我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。

          但是不难发现,如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。

          可以说,每次修改A[i]后,调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。

          当n非常大时,程序会运行得非常缓慢。

          因此,这里我们引入“树状数组”,它的修改与求和都是O(logn)的,效率非常高。

【理论】

          为了对树状数组有个形 象的认识,我们先看下面这张图。

  树状数组 - 东月之神 - 东月之神               

如图所示,红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。

          这里,C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和,而k则是i在二进制时末尾0的个数,

          或者说是i用2的幂方和表示时的最小指数。

         ( 当然,利用位运算,我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) )

          同时,我们也不难发现,这个k就是该节点在树中的高度,因而这个树的高度不会超过logn。

          所以,当我们修改A[i]的值时,可以从C[i]往根节点一路上溯,调整这条路上的所有C[]即可,

          这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。  

          另外,对于求数列的前n项和,只需找到n以前的所有最大子树,把其根节点的C加起来即可。

          不难发现,这些子树的数目是n在二进制时1的个数,或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,

          因此,求和操作的复杂度也是O(logn)。

          接着,我们考察这两种操作下标变化的规律:

          首先看修改操作:

          已知下标i,求其父节点的下标。

          我们可以考虑对树从逻辑上转化:

            树状数组 - 东月之神 - 东月之神

         如图,我们将子树向右对称翻折,虚拟出一些空白结点(图中白色),将原树转化成完全二叉树。

         有图可知,对于节点i,其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。

         因而父节点下标 p=i+2^k  (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂,即i为根节点子树的规模)

         即  p = i + i&(i^(i-1)) 。

         接着对于求和操作:

         因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂,所以我们要求子树i的前一棵树,只需让i减去2的最小幂即可。

         即  p = i - i&(i^(i-1)) 。

        

         至此,我们已经比较详细的分析了树状数组的复杂度和原理。

         在最后,我们将给出一些树状数组的实现代码,希望读者能够仔细体会其中的细节。

【代码】

  求最小幂2^k:

int Lowbit(int t)

{

    return t & ( t ^ ( t - 1 ) );

}

             

  求前n项和:

int Sum(int end)

{

    int sum = 0;

    while(end > 0)

    {

        sum += in[end];

        end -= Lowbit(end);

    }

    return sum;

}

 对某个元素进行加法操作: 

void plus(int pos , int num)
   {
      while(pos <= n)
    {
          in[pos] += num;
          pos += Lowbit(pos);
    }
                       

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